[Data Description] Measuring Central Tendency

Measuring Central Tendency

Central tendency(중심점)을 확인하는 수단으로 mean, median, mode가 있다.

 

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Mean(평균값)

= Algebraic measure

대수적인 평균값이다.

 

n = sample size, N = population size

 

Weighted Arithmetic Mean

= Weighted mean

 

각 그룹의 크기 비율이 다를 때나 비중을 다르게하고 싶을 때 평균을 구하는 방법이다.

 

분자에는 각 sample의 값에 weight을 곱하고 분자에는 그 weight들의 합으로 나눠준다.

분모에 나누는 것은 분자의 weight의 합이 1이 되도록 하는 작업이다.

 

 

Trimmed Mean

너무 극단적인 값은 버리고 평균을 취하는 방법이다.

예를 들어 100명의 사원 임금 평균을 구할 때 3명이 CEO라면 CEO의 임금이 압도적으로 크기 때문에 CEO는 버리고 구할 수 있다.

 

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Median

값들을 정렬하고 중앙에 위치한 값을 찾는 방법이다.

데이터의 수가 짝수이면 가운데 2개의 값의 평균을 취한다.

 

Historygram 이용

그런데 median은 데이터가 동적으로 변하는 상황에서 계산하기 힘들다.

정렬 후 찾아야 하기 때문에 sorting에 대한 overhead가 발생하기 때문이다.

 

따라서 gropued data에 대해 interpolation을 통해 추정함으로써 overhead를 어느정도 피할 수 있다.

 

 

수식에 대한 내용은 아래 그림과 같다.

Median이 속하는 구간 내에서 몇 퍼센트 쯤 위치했는지 찾고 width와 곱함으로써 구간 내의 값을 구할 수 있다.

이후 구간의 시작 값에 더함으로써 median을 찾을 수 있다.

 

 

예시

아래 표와 같이 구간에 따른 frequency가 주여졌다고 하자.

 

전체 데이터의 수 $n$ =3194 중 median은 1597번째 값이므로 meidan은 21-50 구간에 속한다.

$L_1$ = 21, $freq_{median}$ = 1500, $\Sigma freq_{low}$ = 950, $width$ = 1500 이다.

따라서 $median$ = 34.37 이다.

 

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Mode

주어진 데이터 내에서 가장 빈번하게 나타나는 값을 mode라 한다.

Histogram에서 가장 높은 위치의 값과 동일하다.

 

Mode의 수에 따라 unimodal(1개), bimodal(2개), trimodal(3개)이라 한다.

 

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Mean vs. Median

Mean은 extreme value의 영향을 받는다.

Median은 extreme value의 영향을 받지 않지만 데이터가 동적으로 변하는 상황에서 median을 구하기는 쉽지 않다.

Sorting에 대한 overhead가 발생하기 때문이다.

 

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Mean, Meidan, Mode

Empirical Fomular

일반적인 경향에서 mean, median, mode의 관계는 다음과 같다.

그러나 이는 절대적인 특성은 아니고 empirical fomula이다.

 

$mean - mode = 3 \times (mean - median)$

 

Symmetric Data

Median, mean, mode가 모두 일치하는 데이터를 symmetric data라 한다.

Symmetric data의 histogram은 아래와 같이 정규 분포의 형태를 따른다.

 

Skewed Data

Median, mean, mode이 일치하지 않는 데이터를 말한다.

 

• positively skewed data
  • mean > median
  • mean은 extreme value에 더 영향을 받기 때문에 median보다 오른쪽에 위치한다.
• negatively skewed data
  • mean < median
  • mean은 extreme value에 더 영향을 받기 때문에 median보다 왼쪽에 위치한다.

 

In Histogram

Histogram에서 mean, median, mode는 아래의 특징을 가진다.

• mode : 가장 빈번하게 나타나는 값 → 가장 높은 값
• median : 그래프의 넓이를 절반으로 가르는 값
• mean : median보다 extreme value에 영향을 받는 곳