Affine Frame

Coordinate-free (Coordinate-invariant)

Coordinate-free는 좌표계와 상관 없이 동일하게 동작하는 개념이다.

point와 vector의 개념을 사용한다.

• points
  • 특정한 좌표계 위에서의 위치를 의미한다.
  • location in space
• vector
  • 두 개의 points의 차이를 나타낸다.
  • displacements in space

 

origin이 정해지면 point는 origin으로부터의 vector로 표현될 수 있다.

그러나 여전히 좌표가 달라질 수 있기 때문에 coordinate-free하지는 않다.

 

coordinate-invariant에서는 point sum을 할 수 없다.

예를 들어, 두 point의 합은 원점이 어디인지에 따라, 즉 좌표계에 따라 위치가 달라진다.

 

Coordinate-Free Geometric Operation

다음과 같은 operation이 coordinate-free operation이다.

• Addition
• Subtraction
• Scalar multiplication

 

$c \cdot point$가 정의되려면 원점이 정의되어야한다.

그러나 원점이 어디인지에 따라서 point의 위치가 달라지므로, coordinate-free가 아니다.

 

 

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Vector Space and Affine Space

Vector space

Vector와 vector에 관련된 연산으로 이루어진 공간이다. Point는 포함하지 않는다.

 

Set of vectors와 두 개의 연산으로 구성된다.

연산에는 vector와 vector의 합, vector와 scalar의 곱이 있다.

 

이 연산들의 결과도 vector space에 포함된다.

따라서 vector의 linear combination도 vector이다.

 

$\textbf{u_0} , \textbf{u_1} ,... \textbf{u_N} \in V \Rightarrow c_o \textbf{u_0} + c_1 \textbf{u_1} + ... + c_N \textbf{u_N} \in V$

 

Affine space

Vector space에 point를 포함한다. vector, point, 그와 관련된 연산들로 이루어져있다.

연산들에는 vector space의 연산에 point와 point의 차, vector와 point의 합이 포함된다.

 

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Affine Frame

Frame은 다음으로 이루어진다.

• set of vector $\{ \textbf{v}_i | i=1,...,N \}$
  • $\{ v_i \}$는 basis vector들로 이루어진 vector space
  • basis vector의 수(N)에 따라서 몇차원인지 정의된다.
  • 만약, 3차원이라면 1개의 origin과 3개의 basis vector set으로 이루어진다.
• point $\textbf{o}$(origin, 원점)
  
  • $\textbf{o}$는 frame의 origin point(원점)이다.

 

임의의 point p와 임의의 vector v을 표현할 수 있다.

이를 이용하면 모든 위치에 대해 표현할 수 있다.

$p = o + c_1 \textbf{v_1} + c_2 + \textbf{v2} + ... + c_N \textbf{v_N}$

$\textbf{v} = c_1 \textbf{v_1} + c_2 \textbf{v2} + ... + c_N \textbf{v_N}$

 

Vector는 원점이 정의되어 있지 않으므로 위치에 대한 정보는 없고, 원점으로부터 얼만큼 가는지에 대한 정보를 담고 있다.

 

 

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Homogeneous Coordinates와 Point, Vector

Homogeneous coordinate은 point, vector, affine space에 완전히 부합한다.

즉, homogeneous coord는 affine frame coordinates의 consistent model이다.

 

Homogeneous coord에서 point는 $(x, y, z, 1)$로, vector는 $(x, y, z, 0)$으로 표현된다.

 

 

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참고

본 포스트는 한양대학교 이윤상 교수님의 수업을 정리한 내용입니다.

출처: 한양대학교 이윤상 교수님 컴퓨터그래픽스 강의 강의자료 - https://cgrhyu.github.io/courses/2022-spring-cg.html

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