[OpenGL] Transformation Matrix

Fundamental Idea of Transformation

Numpy의 matrix multiplication을 이용하든 OpenGL transformation function을 이용하는 것이든,

결국 transformation의 기본적인 접근은 행렬의 곱을 이용하는 것이다.

Fundamental idea of transformation

 

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Current Transformation Matrix

OpenGL은 "state machine"이다.

즉, 하나의 상태가 지정되면 그 상태는 새로운 상태가 지정될 때까지 그대로 있는다.

상태는 current color, current transformation matrix 등이 포함된다.

 

OpenGL은 항상 current transformation matrix을 이용하여 object를 그린다.

Current transformation matrix가 C면,

우리가 <pre>glVertex3fv(p)</pre>을 해서 <pre>p</pre>을 그리더라도 실제로는 <pre>Cp</pre>가 그려진다.

 

각 렌더링을 시작할때는 반드시 <pre>glLoadIdentitiy()</pre>을 이용해서 current transformation matrix을 identity matrix로 설정해야한다.

Current transformation matrix가 identity라면, 모든 object들은 NDC(Nomalized Device Coordinate) space 위에 그려진다.

NDC (Nomalized Device coordinate)

 

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Transformation Functions

OpenGL은 manipulate the current transformation matrix을 지원하는 많은 함수를 가지고 있다.

• <pre>glScale*()</pre>
• <pre>glRotate*()</pre>
• <pre>glTranslate*()</pre>
• <pre>glMultmatrix*()</pre>
  
  • <pre>glShear*()</pre>나 <pre>glReflect*()</pre>는 존재하지 않는다.
  • 대신 shear나 reflect는 <pre>glMultMatrix*()</pre>을 이용해서 수행할 수 있다.

 

Current transformation matrix의 상태는 right-multiplication으로 변한다.

C ← CS가 되는 셈이다. 때문에 코드에서는 나중에 추가되는 요소가 실제로는 먼저 수행된다.

코드를 작성할 때에는 이를 잘 생각해야 한다.

 

glScale*()

어떠한 축의 방향으로 확대시킨다.

형태 : <pre>glSclae*(x, y, z)</pre>

• x, y, z : 각각 x, y, z 축에 대한 scale factor이다.

 

왼쪽 그림은 (0, 0), (0, 0.5), (0.5, 0)의 삼각형을 나타낸 것이다.

이 도형에서 <pre>glScalef(2.0, 1.0, 1.0)</pre>을 하면 오른쪽 그림과 같이 된다.

좌 : 원본 / 우 : glScalef 수행 후

 

glRotate*()

어떠한 축을 중심으로 회전한다.

형태 : <pre>glRotate*(angle, x, y, z)</pre>

• angle : 회전시킬 각도이다. radian이 아닌 degree이다.
• x, y, z : x, y, z coordinate, 회전 축이 될 vector

 

(0, 0), (0, 0.5), (0.5, 0)의 삼각형에서 <pre>glRotatef(30, 0.0, 0.0, 1.0)</pre>을 수행하면 오른쪽 그림과 같이 된다.

xy평면을 보고 회전을 시키는 것이므로 z축이 중심이 되어야 한다. 또한 angle이 양의 값을 가지므로 반시계 방향이 된다.

좌 : 원본 / 우 : glRoatetf 수행 후

 

glTranslate*()

평행 이동을 수행한다.

형태 : <pre>glTranslate*(x, y, z)</pre>

• x, y, z : x, y, z coord. Translation vector

 

(0, 0), (0, 0.5), (0.5, 0)의 삼각형에서 <pre>glTranslatef(-0.2, 0.0, 0.0)</pre>을 수행하면 오른쪽 그림과 같이 된다.

x축 방향으로 -0.2 만큼 평행이동 시킨 것이다.

좌 : 원본 / 우 : glTranslatef 수행 후

 

glMultMatrix*()

현재의 current transformation matrix에 인자로 넘겨주는 matrix을 곱하여 그것을 transformation matrix로 삼는다.

형태 : <pre>glMultMatrixf(m)</pre>

• m : 4x4 column-major matrix

numpy의 ndarray는 row-major order로 데이터가 저장이된다.

때문에 ndarray을 이용해서 glMultMatrix에 적용하기 위해서는 transpose을 해야한다.

 

(0, 0), (0, 0.5), (0.5, 0)의 삼각형에서 다음과 같은 코드를 적용함으로써 translate을 수행할 수 있다.

아래에서 T는 x축으로 0.4만큼 움직이는 4x4 matrix이다. 이를 <pre>.T</pre>을 이용해서 transpose을 한 후 <pre>glMultMatrixf</pre>에 적용하였다.

T = np.identity(4)
T[:3, 3] = [0.4, 0.0, 0.0]

glMultMatrixf(T.T)

좌 : 원본 / 우 : glMultMatrixf 적용 후

 

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Composing Transformations

OpenGL의 transformation function은 right-multiplication으로 적용된다.

따라서 코드상으로는 맨 마지막 줄의 transformation이 실제로는 가장 먼저 적용이 된다.

 

따라서 아래와 같은 코드에서는  TRp가 되어 그려진다.

Right multiplication이므로, rotate → translate의 순으로 일어난다.

 

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참고

본 포스트는 한양대학교 이윤상 교수님의 수업을 정리한 내용입니다.

출처: 한양대학교 이윤상 교수님 컴퓨터그래픽스 강의 강의자료 - https://cgrhyu.github.io/courses/2022-spring-cg.html

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