Affine Transformation Matrix, Transformation의 해석

Affine Transformation Matrix

Affine Frame, Global Frame

Affine frame은 3차원 공간상의 affine frame은 x, y, z 축에 대한 3개의 vector와 origin으로 구성된다.

Global frame은 x, y, z 축에 대한 standard basis vector $\hat{e_x}, \hat{e_y}, \hat{e_z}$과 origin point $o$으로 구성된다.

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Affine Transformation Matrix

Affine transformation은 모든 vertex들을 global frame에 대해서 geometric transform 한다.

 

Global frame에 대해서 affine transformation matrix M을 적용하는 것은 M을 global frame의 x, y, z 축에 대한 vector와 origin point에 곱하는 것과 같다.

 

Affine transformation matrix는 global frame에 대한 affine frame을 정의한다.

예를 들어 matrix I(identity)는 global frame와 동일한 local frame을 정의한다.

 

즉, affine transformation matrix는 affine frame에서의 point를 global frame에 대한 point로 변환한다.

 

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Transformation의 해석

Transformation을 해석하는데에 2가지 방법이 있다.

 

• rigth to left
  • global frame에 대해서 transformation을 수행
  • global frame에 대해 새로운 transformation을 하기 위해서는 left multiplication을 해야 한다.
  • 오른쪽에서 왼쪽으로 곱이 수행되기 때문에 가장 늦은 transformation은 왼쪽이기 때문이다.

• left to right
  • local frame에 대해서 transformation을 수행
  • local frame 자체를 transformation을 한다.
  • local frame에 대해 새로운 transformation을 하기 위해서는 right multiplication을 해야 한다.

 

아래에서 왼쪽은 right-to-left로 해석해서 global frame에 대해 transformation을 한 것이다.

오른쪽은 left-to-right로 해석해서 local frame에 대한 transformation 한 것이다.

 

두 개의 결과는 같지만, 어떤 방식으로 해석하냐에 따라서 transformation 진행이 달라진다.

 

 

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참고

본 포스트는 한양대학교 이윤상 교수님의 수업을 정리한 내용입니다.

출처: 한양대학교 이윤상 교수님 컴퓨터그래픽스 강의 강의자료 - https://cgrhyu.github.io/courses/2022-spring-cg.html

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