3D Orientation Interpolation

Interpolation

알려진 데이터를 이용해서 새로운 데이터를 추론하는 것이다.

 

• nearest-neighbor : 주변의 데이터를 이용
• linear : 알려진 데이터를 선으로 연결해서 추론
• polynomial : 알려진 데이터를 다항식을 이용해서 연결
• spline : 다항식을 여러 조각을 연결

 

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Linear Interpolation

일반적인 경우

내분한다고 생각하면 간단하다.

 

정확하지 않은 방법

각 element마다 linear interpolation을 적용하면 정확하지 않은 결과를 얻게된다.

• Euler angle
• Rotation vector

• Rotation matrices

• Unit quaternions

 

Slerp

Spherical Linear Interpolation

 

정확한 결과를 얻기 위해서는 slerp을 해야 한다.

두 개의 orientation 사이의 linear interpolation을 구할 수 있게 해준다.

 

$slerp(R_1, R_2, t) = R_1 ( R_1 ^T R_2 )^t$

$= R_1 exp(t \cdot log( R_1 ^T R_2 ))$

 

exp() : rotation vector → rotation matrix

log() : rotation matirx → rotation vector

 

$R^t$의 의미는 rotation angle을 scaling 하는 것이다.

 

exp()

rotation vector → rotation matrix

Rodrigues' rotation formula 를 이용한다.

 

회전축 $u = (u_x, u_y, u_z)$에 대해 $\theta$ 만큼 rotate하면,

 

log()

아래를 이용해서 rotation matrix → rotation vector를 수행한다.

 

단, $sin \theta$가 0면 나눌 수 없으므로 singularity가 존재한다.

 

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참고

본 포스트는 한양대학교 이윤상 교수님의 수업을 정리한 내용입니다.

출처: 한양대학교 이윤상 교수님 컴퓨터그래픽스 강의 강의자료 - https://cgrhyu.github.io/courses/2022-spring-cg.html

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